http://www.mfdcmacau.com/blogs/index.php/2011/05/21/law-of-large-numbers

成功的投資者應善用『大數法則』原理                        著名投資者彼得林治(Peter Lynch)曾經說過：『投資是一門藝術而不是一門科學。』的而且確，在投資過程中刻意將每項事情過於量化只是徒然，畢竟金融市場所存在的變量眾多，要做到精準無誤的預測又談可容易？但這亦不代表是一個放任讓投資者胡亂投資、莫視理性分析的藉口，雖則我們知道過份執著的量化分析不一定能準確捕捉每個獲利機會，但在決策時具備應有、基本的科學與理性頭腦，還是可以把獲勝的機會率大大提高，而『大數法則』便是一項每個投資者在投資決策過程中應該遵循的理性分析框架。
無可否認,投資活動具有高度『不確定性』,但如何有效將『不確定性』進行『馴服』與及提升獲利的『機率』便是成功投資者的職責所在


何謂『大數法則』Law of Large Numbers？
在一場隨機的試驗中，或許每次所出現的結果均不盡相同，但在透過反覆並長期進行大量相同的試驗後，所出現的實際結果將趨向於某個概率的範圍之中，這便是所謂的『大數法則』。例如在擲毫遊戲中，大家都知道一個硬幣只有正反兩面，理論上，出現『正面』在上與出現『反面』在上的可能性將各自為５０％，亦即表示擲毫的結果出現『正面』與『反面』的機率各佔一半。但在實際的拋擲過程上，倘若我們只嘗試４次的拋擲檢驗，所出現的結果未必一定是『正面』與『反面』各佔二次。實際的結果可能是『反面』『正面』『正面』『正面』，亦有可能是『反面』『正面』『反面』『反面』…等（其它可能的組合省略）。那麼，你是否會只靠幾次的實務拋擲結果來否定上述正反面各佔５０％的機率？
其實，『正面』與『反面』的機率各佔５０％是一個客觀的預期結果，這個結果只有透過大量的重覆檢驗才會趨向這個機率數值，意思是要準確體現這個結果，需透過大量的拋擲行為中才會顯示出『正面』與『反面』各佔一半的局面，倘若只將檢驗進行數次，由於檢驗樣本數量未夠充足，故此將與預測發生的可能性出現偏差，但這絕不代表『正面』與『反面』的機率不是５０％。倘若拋擲硬幣的人只透過四次檢驗後得出『反面』『正面』『正面』『正面』的結果，便因而斷訂出現『正面』的機率是７５％，而『反面』的機率是２５％的話，這便是一個不科學且片面的結論，並將大大的阻礙了隨後作出正確決策之判斷。
無論在日常生活抑或投資活動中，為了優化我們所作出的一系列決策，了解大數法則是必需的。盲目『以偏蓋全』地進行分析是極不健康，但可惜在現實投資活動裡，大部份人士均莫視『大數法則』的存在，反而奉行以『小數法則』（即以小樣本的數據來推敲事請結論）作主導，這樣將對決策的質量構成極大的負面影響。
舉例：
在拋擲硬幣的遊戲中，出現了如下的結果：
『正面』『正面』『正面』『正面』『正面』
現在要你對第六次的結果進行預測，那麼你會認為拋出『正面』的機率大些，還是『反面』的機率大一些呢？
倘若你的答案是『反面』的話，你可能已墜入『小數法則』的陷阱了，原因在於根據『大數法則』原理，出現『正面』與『反面』的機率應是各佔一半，而在客觀上我們亦知道每次的過程均是『獨立事件』，亦即是說今次的擲幣結果與下次的擲幣結果理應互不相連，倘若你單純以連續５次是『正面』而斷定下次擲幣結果很大機會是『反面』的話，你便未免太過『斷章取義』了，故此，連續５次是『正面』根本上對下次的預測結果毫無幫助，原因終歸究底，出現『正面』與『反面』的機率由始至終也是５０％。
在投資活動當中，理性與科學化的決策更是提升致勝可能性的關鍵因素，故此應杜絕出現『小數法則』等不理性行為。  BY:RAFE CHAN
投資決策切忌以『小數法則』行事


                                                                        This entry was posted on 5月 21st, 2011                                 at 15:13:05                                  and is filed under 財經探索.

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12/12賭徒謬誤: 大數法則  v.s. 小數法則          主題分類：          謀權奪利真英雄-牧清華


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本週我們介紹Tharp的第8個偏見(Ch5)：小數法則 (The Law of Small Numbers)

賭一個公正的硬幣，人頭跟數字出現的機率各半，也就是50%。在此之前，已經連續出現10次人頭，你認為下次擲硬幣(第11次)出現的會是人頭還是數字?

有學過國中數學的應該知道，第11次出現人頭跟數字的機率還是為50%，並不會因為前面已經連續出現過10次人頭，第11次出現數字的機會就會大一些 (>50%)。

但很好玩的是，如果讓賭客下第11次的注，大部份人還是會選擇壓數字 (包刮牧清華自己)。即使他們知道第11次出現數字的機率還是只有50%。

這是很有趣的現象，我們稱為賭徒謬誤(Gambler's Fallacy)。



之所以稱為謬誤，是因為有些賭徒認為第11次較有可能出現數字。理由是前面出現的人頭實在太多了，該均衡一下。

理論上，如果真是一枚公正的硬幣，前面出現幾次的人頭或數字，與下一次擲硬幣會出現人頭還是數字無關，也就是其機率是獨立的。我們可以用下面的表示法：

1/2 = Prob.[第一次出現人頭] = Prob.[第二次出現人頭 | 第二次出現人頭]

= ... = Prob.[第n次出現人頭 | 不管前面幾次發生什麼事]

為什麼正常人都會有這種心理反應？因為大家熟悉的人頭數字出現的機率各為50%，意思是

如果擲硬幣10次，理論上人頭要出現5次，數字要出現5次。

如果擲硬幣100次，理論上人頭要出現50次，數字要出現50次。

如果擲硬幣1000次，理論上人頭要出現500次，數字要出現500次。
...
如果擲硬幣n次，理論上人頭要出現n/2次，數字要出現n/2次。

注意到上面都是"理論上"，而實際情形是如何呢？

當你擲硬幣10次，實際上人頭出現4次，數字出現6次。

當你擲硬幣100次，實際上人頭出現47次，數字出現53次。

當你擲硬幣1000次，實際上人頭要現505次，數字出現495次。
...
如果擲硬幣n次，實際上人頭出現比例為50%+∆，數字出現比例為50%-∆。

你會發現"實際上"怎麼跟"理論上"都不一樣? 實際上總是與理論上有∆的誤差。
這個誤差，總是如影隨形的存在，我們無法控制，只能去揣測∆的行為。
例如，有一個行為是肯定的。那就是隨著實驗次數越多，人頭跟數字出現的比例越接近50%。
當你擲硬幣10次，可能實際上人頭出現4次，人頭出現比例占了40%，∆=-10%。
當你擲硬幣100次，可能實際上人頭出現47次。人頭出現比例占了47%，∆=-3%。
當你擲硬幣1000次，可能實際上人頭出現505次。人頭出現比例占了50.5%，∆=0.5%。
...
發現什麼事？當實驗次數越多，人頭出現的比例有沒有越接近50%? ∆有沒有越接近0。

當你擲硬幣n次，n趨近於無限大(∞)，則∆會趨近於0。

賭徒謬誤 (Gambler's Fallacy)

這時如果你是"正常人"，你很自然會有一種奇怪的思維。

如果前面已經出現過好幾次人頭，使得人頭出現的次數佔過去比例離50%很遠，你會不會認為下次出現數字的機會大些？

大部份人都說不會(有學過機率)，但心理上都覺得應該要會，理由是

因為下次出現數字，才會使得這個離50%很遠的比例，稍微回來接近50%。

然而，這些都是錯覺！下次擲硬幣，人頭數字出現的機率，還是各為50%。

Amos Tversky和Daniel Kahneman對賭徒謬誤的結論：小數法則(Law of small numbers)。

大數法則 v.s. 小數法則做統計預測的人，最喜歡講大數法則。顧名思義大數法則就是次數要很多，要多少？最好是無限多，跟韓信要兵一樣，多多益善。

我們平常說機率多少，是用大數法則的角度去說機率這件事。也就是當無限多次試驗後，實際情形(發生比例)會跟機率一樣。或著說，次數越多越，比例越接近機率。

只是大大部份人往往會忽略這件事。

更慘的是，就算次數真的夠多，假設10,000次好了，還是不能決定10,001次到底是出現人頭還是數字，因為機率還是各為50%。

對賭徒來說，他們往往會把過去十次當做夠多，過去百次當做夠多，當發現比例偏離時，就認為再來可能會出現另一個方向的結果。

事實上每次擲硬幣都是一個獨立事件。也就是每次擲硬幣跟前面發生什麼事是無關的。

但是即使無關，大數法則就是會讓整體事件發生的比例，跟理論上的機率吻合。

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大數法則也告訴你，我們預測未來長期的趨勢，可能比預測明天會怎麼走，容易的多。

就像我可以預測擲硬幣一萬次，約有五千次會出現人頭，實際情形與五千不會差太多。

可是我們無法預測擲硬幣兩次，這兩次會出現什麼？很高的機率預測會與實際的完全相反。

若是上面這句話你同意，那做波段單會比做當沖容易賺錢嗎？

這個具有爭議的問題，牧清華也不知道，或著說因人而異。

交易是個人行為，還有太多個人的因素，包括交易風格...等。

變數太多，使得有些人適合作當沖單，有些人適合作波段單。

這麼官方的答案，也許就是標準答案吧!